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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Circunferencia Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

2. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

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Sea la ecuación ordinaria: (x − ) h 2 + (y − ) k 2 = r
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desarrollando se tiene: x − 2hx + h + y − 2yk + k = r
acomodando: x 2 − 2hx + y 2 − 2yk + h 2 + k 2 − r 2 = 0
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ahora, si se hacen los siguientes cambios de variable: = −2ℎ, = −2, = ℎ + −
y si se sustituyen, la ecuación resultante es:

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

expresión conocida como ecuación general de la circunferencia.

Ejemplo.
Obtener la ecuación general de la circunferencia con centro en ( 3,C − ) 6 y que pase por el punto ( ) 19,P .

Solución.
Al no tener el radio como dato debe encontrarse mediante la distancia que separa a los puntos. Esa
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distancia viene dada por: r = d = (x − x 1 ) + (y − y 1 ) , considerando a P como punto uno y al centro
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como punto dos: = √(−3 − 9) + (6 − 1) = √(−12) + 5 = √144 + 25 = √169 = 13
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sustituyendo se tiene:
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( −x ( )) +− 3 2 ( −y ) 6 2 = 13 2  ( +x ) 3 + ( −y ) 6 2 = 169  x 2 − 6 +x 9 + y 2 − 12 +y 36 = 169
 x 2 + y 2 − 6 −x 12 −y 124 = 0

3. OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN ORDINARIA A PARTIR DE LA ECUACIÓN
GENERAL

Sea la ecuación general: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

acomodando convenientemente: x 2 + Dx + y 2 + Ey + F = 0

completando los trinomios cuadrados perfectos: x 2 + Dx + D 2 + y 2 + Ey + E 2 + F − D 2 − E 2 = 0
4 4 4 4

D E D 2 E 2
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factorizando: ( +x ) + ( +y ) + F − − = 0
2 2 4 4
D E D 2 E 2
o bien: x +( ) 2 + ( y + ) 2 = + − F
2 2 4 4
D E 2 D 2 E 2
efectuando los siguientes cambios de variable: h = − , k = − , r = + − F
2 2 4 4
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la ecuación toma la forma: (x − ) h 2 + (y − ) k 2 = r

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