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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Vectores Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Solución.
⃗⃗
a) ⃗ ∙ = 2(−4) + (−5)(1) + 3(2) = −8 − 5 + 6 = −7
b) ⃗ ∙ ⃗ = 2(1) + (−5)(6) + 3(−8) = 2 − 30 − 24 = −52

Ejemplo
Dados los vectores en el espacio:
⃗⃗
̂
̂
⃗ = 3̂ + ̂ + 2 y = −2̂ + ̂ − 5
Calcular el valor de para que:
⃗⃗
a) Los vectores ⃗ y formen 90°.
⃗⃗
b) Los vectores ⃗ y tengan el mismo módulo.

Solución.
a) Para que formen 90°, su producto escalar debe ser cero. De modo que:
⃗⃗
⃗ ∙ = 3(−2) + (1) + (2)(−5) = 0  − 6 + − 10 = 0  = 6 + 10 = 16
⃗⃗
b) Calculando el módulo de :
⃗⃗
2
2
2
|| = √(−2) + 1 + (−5) = √4 + 1 + 25 = √30
el módulo de ⃗ es:
|⃗| = √3 + + 2 = √9 + + 4 = √ + 13
2
2
2
2
2
⃗⃗
como |⃗| = || entonces:
2
√ + 13 = √30  + 13 = 30  = 30 − 13 = 17  = ±√17
2
2

⃗⃗
Sean tres vectores no nulos ⃗, y ⃗. El producto escalar tiene las siguientes propiedades:

⃗⃗
⃗⃗
1. Conmutativa: ⃗ ∙ = ∙ ⃗
⃗⃗
2. Asociativa: (λ ∙ ⃗) ∙ = λ ∙ (⃗ ∙ ) = ⃗ ∙ (λ ∙ ), siendo λ un escalar.
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
3. Distributiva: ⃗ ∙ ( + ⃗) = ⃗ ∙ + ⃗ ∙ ⃗

3.5. PRODUCTO VECTORIAL (PRODUCTO CRUZ)

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL

⃗⃗
⃗⃗
El producto vectorial de dos vectores ⃗ y es otro vector que se denota por ⃗ × , se define del siguiente
modo:

⃗⃗
Si ⃗ y son dos vectores no nulos, y no proporcionales, es un vector caracterizado por:

⃗⃗
⃗⃗
Módulo: |⃗ × | = |⃗|||
⃗⃗
Dirección: La de la recta perpendicular a los vectores ⃗ y .
⃗⃗
Sentido: El que indica el pulgar de la mano derecha cuando los dedos giran de ⃗ a .

⃗ = 0
⃗⃗
⃗⃗
⃗ × = 0 si { = 0
⃗⃗
⃗ son proporcionales

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