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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Lugares geométricos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

2.3. EXTENSIÓN

La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de
las variables x y y son reales.

Los valores de cada una de las variables para las cuales la otra se hace imaginaria, carecen de sentido.
Aquí se pueden presentar dos opciones:

a) Que se tenga un cociente. Aquí lo que debe evitarse es que el denominador se haga cero.
b) Que tenga un radical con índice par. Aquí lo que debe cuidarse es que su argumento sea positivo o
cuando menos igual a cero.

Si no sucede ninguna de las dos opciones anteriores, entonces existe la gráfica en x para toda y y en
y para toda x .

2.4. ASÍNTOTAS

Si para una curva dada existe una recta tal que a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente
de su origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se
llama asíntota de la curva.

Las asíntotas pueden ser horizontales o verticales (aunque en términos genéricos pueden tener cualquier
inclinación).

Un lugar geométrico tiene:

 Una asíntota vertical cuando crece indefinidamente si x tiende a un valor finito.
 Una asíntota horizontal cuando a medida que x crece indefinidamente, la función tiende a un número
finito.

Un lugar geométrico puede tener más de una asíntota horizontal o vertical y sólo existen si hay expresiones
racionales de las formas:

p   x p   y
f   x  o g   y 
q   x q   y

En el caso de las funciones racionales, las asíntotas verticales se deducen de la expresión despejada para
y y de los valores de x que no están en el dominio de la función, es decir, los que anulan el denominador.

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Por ejemplo, la curva y  tiene dos asíntotas verticales: una en x 3 y la otra en x  5
 x 3  x  5
.

En el caso de las funciones racionales, las asíntotas horizontales se deducen de la expresión despejada
para x y de los valores de y que anulan el denominador.

1
Por ejemplo, la curva x  tiene cuatro asíntotas horizontales: en y  0 , y  2 ,
y y 2  4 2 y 12 
y   2 y en y   6 . Este paso es una consecuencia directa de la extensión.

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