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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Los números reales para contar, comparar y medir Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Un número irracional tiene un número ilimitado de cifras, por tanto, es imposible escribir su valor exacto.
Para manejar estos números se utilizan aproximaciones de los mismos. Aumentando el número de cifras,
el error va disminuyendo, de modo que puede ser tan pequeño como se quiera. Algunos números
irracionales se pueden representar en la recta numérica mediante procedimientos geométricos utilizando

regla y compás (por ejemplo las raíces cuadradas no exactas, como el caso de 2 ya expuesto). Para
muchos números irracionales no se puede aplicar este método, la representación de estos números se
hace por aproximación. Por ejemplo, algunos números irracionales en la recta serían:

Una operación en Q’ es una manera de asociar a cada par de números irracionales, otro número irracional
bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son la suma, la resta, la multiplicación,
el cociente y la extracción de raíces (exceptuando la radicación de números negativos de índice par).

Sean a , b y c tres números irracionales cualesquiera. Las propiedades básicas para la suma en Q’ son:

1. Asociatividad:
a  b  c  a  b  c

2. Conmutatividad:
a  b  b  a

3. Inverso:
Para la suma existe a , llamado opuesto o simétrico tal que a   0 a

Las operaciones de suma y producto no son cerradas en Q’ y no tiene elemento neutro.

6. NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales surge de la unión de los números racionales y de los irracionales. Se
denotan como R. Este conjunto comprende a todos los sistemas numéricos anteriores.

R=Q  Q’

Se habla del orden en los números reales a través de la propiedad de tricotomía afirmando que dados n
y m dos números reales, entonces se tiene exactamente una de las tres posibilidades:

n  m
n  m
n  m

Al igual que en los conjuntos N, Z, Q y Q’, los números reales se pueden representar en una recta, sólo
que en este caso no hay puntos discretos, sino se trata de una recta continua:

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