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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Los números reales para contar, comparar y medir Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Como se ha dicho, en el conjunto de los números racionales se pueden efectuar las cuatro operaciones
básicas, no obstante, no se puede resolver de forma general un problema donde intervenga la radicación
de un número entero, por lo tanto, es necesario definir un nuevo sistema numérico.
5. NÚMEROS IRRACIONALES
Con los números racionales se pueden representar casi todas las cantidades que se encuentran en la vida
cotidiana. Sin embargo, hay otra clase de números, que se escriben con una infinidad de decimales pero
que no tienen un período, es decir, no tienen cifras que se repitan en el mismo orden. Los números de esta
clase reciben el nombre de irracionales y, a diferencia de los racionales, no pueden expresarse en forma
de fracción, sino sólo en forma decimal. Se denotan por Q’.
En general, cualquier raíz inexacta de un número racional o alguna combinación algebraica que la involucre
(y que exista) es un número irracional. Esto significa que este conjunto también es infinito.
Ejemplos de números irracionales.
3 73205080751.
6 793 04237117633.
1 5 61803398871. 6
2 (este número es llamado áureo )
Nótese como estos números tienen una infinidad de cifras y no tienen periodicidad. Para todo fin práctico,
cuando se trabaja con números irracionales se efectúan aproximaciones, o bien, se utilizan algunos
símbolos especiales.
Ejemplo.
El número es un irracional que representa las veces que cabe el diámetro de una circunferencia en su perímetro
P . Es decir, si se tuvieran las medidas exactas del perímetro P de una circunferencia y de su diámetro, D ,
P
viene dado por . Si se quisiera efectuar la división nunca se terminaría ya que se podrían obtener tantas cifras
D
decimales como se quisiera, pero nunca se llegaría a un residuo igual a cero, ni se encontrarían cifras que formen
un período. Por lo tanto, no se puede escribir exactamente en cifras decimales:
14159265353. 897932
Los puntos suspensivos indican que las cifras son infinitas. En la práctica, sin embargo, cuando se requiere
calcular perímetros o áreas de circunferencias, volúmenes de esferas o para hacer cualquier otro cálculo,
en el que aparezca , se usa la aproximación 3. 1416 .
Ejemplo.
2 es otro número irracional, ya que es la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos
catetos miden una unidad de longitud. Normalmente se aproxima a 1. 4142 , aunque su valor es de:
2 . 1 4142135623
6 La sección áurea es la división armónica de un segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento
mayor, como este es a la totalidad. De esta manera se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el
todo dividido en mayor y menor. Matemáticamente es el resultado de la expresión: 1 x x .
x 1
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