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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Sistemas de ecuaciones para modelar condiciones simultáneas Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Por lo tanto la solución del sistema es: x 10 y,  4 z,   3
 2        4310 5 3 20 12 15  23 
Comprobación:       48103 2 3 30 32  6  68 

10  2    64 3 10 8 18  20 


7. SISTEMAS DE MÁS DE TRES ECUACIONES LINEALES CON EL MISMO NÚMERO
DE INCÓGNITAS

Un sistema de ecuaciones lineales de la forma siguiente:

a 11 x 1  a 12 x 2  a 13 x 3   a 1 n x n  b 1 
a 21 x 1  a 22 x 2  a 23 x 3   a 2 n x n  b 2 

 

a n1 x 1  a n2 x 2  a n3 x 3   a nn x n  b n 


Se llama un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas, donde a , a , a , nn son coeficientes
11
12
reales y b , b , b , n son términos independientes. Resolver un sistema de este tipo es encontrar los
1
2
números x , x , x , n que satisfacen las ecuaciones, si existen.
2
1

Los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones se pueden dividir en dos grandes grupos:

• Los métodos exactos o directos, que permiten obtener la solución del sistema de manera directa. Éstos
proporcionan una solución exacta en un número finito de operaciones. Son válidos, aproximadamente,
para valores de menores que 5,000 ya que si es muy grande, la acumulación de los errores de
redondeo puede llegar a provocar que la solución numérica no sea exactamente igual que la solución
exacta.

• Los métodos aproximados o iterativos, que utilizan algoritmos iterativos e infinitos y que calculan las
soluciones del sistema por aproximaciones sucesivas. Para ello, construyen una sucesión de vectores
destinada a converger a la solución del sistema.

Al contrario de lo que pueda parecer, en muchas ocasiones los métodos aproximados permiten obtener un
grado de exactitud superior al que se puede obtener empleando los denominados métodos exactos, debido
fundamentalmente a los errores de truncamiento que se producen en el proceso.

Cuando se necesitan resolver sistemas de ecuaciones muy grandes se recurre a programas especializados
que realizan los cálculos de manera iterativa y dan una solución generalmente muy precisa o exacta.

La aplicación de la Regla de Cramer suele ser poco práctica con sistemas de más de tres ecuaciones, por
ello, es más conveniente intentar obtener un sistema triangular equivalente mediante el método de Gauss,
que como ya se explicó, se trata de una serie de algoritmos algebraicos para determinar los resultados de
un sistema de ecuaciones por medio de la reducción del sistema dado a otro que sea equivalente en el
cual cada una de las ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. El arreglo que resulta de este
proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada.

Ejemplo.
Obtener la solución de los siguientes sistemas aplicando el método de reducción de Gauss:

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