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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Inecuaciones para modelar restricciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Un sistema de dos inecuaciones lineales con incógnitas x y y , es de la forma:

a 11 x  a 12 y  b 1 
a 21 x  a 22 y  b 2 


o cualquier otro signo de desigualdad, donde a a , a , a , son coeficientes reales y b b , son
11 12 21 22 1 2
términos independientes. En cada una de las inecuaciones, por lo menos uno de los coeficientes de las
incógnitas es diferente de cero. Resolver un sistema de este tipo es obtener el semiplano solución de las
dos desigualdades e identificar su intersección.
Obtener la solución de un sistema de este tipo supone obtener el hiperplano solución de cada una de las
inecuaciones que lo forman y determinar la intersección de todos ellos.

La solución de un sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas es siempre un conjunto convexo.
Se llama conjunto convexo a una región del plano tal que para dos puntos cualesquiera de la misma, el
segmento que los une está íntegramente contenido en dicha región. Como casos particulares, un conjunto
convexo puede quedar reducido a una recta, a una semirrecta, a un segmento, a un punto o al conjunto vacío.

Los segmentos que delimitan un conjunto convexo se llaman bordes o lados y, la intersección de ellos, vértices.
Los vértices y puntos de los lados que pertenezcan a la solución del sistema de inecuaciones se denominan
puntos extremos. Un conjunto convexo puede ser cerrado o abierto respecto a cada lado o vértice según se
incluya éste o no en la solución. Puede ser acotado o no acotado según su área sea o no finita.

Ejemplos.
Resolver los siguientes sistemas de dos inecuaciones lineales con dos incógnitas.

2x  y  4   0
1) 
x  y 1  0 

Solución.
Convirtiendo a igualdad la primera inecuación: 2  yx  4  0
Si x 0  y  4  0  y  4

Si y 0  2 x 4  0  2 x 4  x  4  2
2
la recta pasa por los puntos  40,  y   02,

Para representar gráficamente la solución de la primera inecuación se elige un punto que no esté en la
recta y se comprueba si verifica o no la desigualdad. Por ejemplo, tomando el punto   31,P 1 se aprecia
que cumple la inecuación ya que al sustituir se obtiene     4312    2 3 4  1 0 . Esto significa que
la región que incluye a ese punto es solución de esta desigualdad.

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