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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Álgebra para analizar los objetos geométricos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

 3   10  90 48
9 1+  − 6 9  − 6 − 6
7 
x 2 =  3 =  7  = 7 3 = 7 = 48 = 16
3
3
3
7 7 7 7
 3   10  20 − 36
2 1+  − 8 2  − 8 − 8
y 2 =  3 7  =  7  = 7 3 = 7 = − 3 36 = − 12
3
3
7 7 7 7
Por lo tanto, el punto buscado es: (16 −,P 2 12 )

Ejemplo.
Hallar las coordenadas de un punto ( y,xP ) que divida al segmento unido por los puntos ( 4 −− ,P 1 10 ) y
P 2 (12, ) 6 en las siguientes razones:

1 8 11 500
a) r = b) =r c) =r 1 d) r = e) =r f) =r 0
7 9 10 2
1 23 16 600
g) r = − h) r = − i) =r − 1 j) r = − k) =r −
6 24 15 2
y establecer una conclusión del comportamiento de los puntos con respecto a las relaciones.

Solución:
x + r x y + r y 2
1
Al ser fijos P y P , las fórmulas x= 1 1 + r 2 y y= 1 + r se aplican fácilmente a todas las
1
2
relaciones dadas puesto que las coordenadas no cambian.

Procediendo repetidamente se obtienen los siguientes puntos de división:

(−2, −8), (3.52, −2.47), (4, −2), (4.38, −1.61), (11.93, 5.93), (−4, −10),

(−7.2, −13.2), (−372, −378), P (No existe), (252, 246), (12.05, 6.05).
i

ℎ

A partir de los resultados, se puede concluir que:

• Con =r 0 , el punto ( y,xP ) se ubica en P
1
• A medida que r va creciendo ( y,xP ) se desplaza hacia P
2
• En su punto medio r vale 1
• Cuando 1− r  0 , el punto se ubica en su prolongación hacia abajo alejándose hasta que llega a
r = − 1 donde geométricamente representa al infinito.
• Cuando r 1 − , el punto se ubica en su prolongación, pero ahora hacia arriba. A medida que decrece,
tiende a P .
2

Geométricamente, lo anterior se puede representar como:

8