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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Coordenadas polares Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1. Si < 1, la ecuación define una elipse. Mediante ella se obtienen todos los puntos de la elipse
haciendo variar de 0 a 2.
2. Si = 1, la ecuación define una parábola, haciendo variar de 0 a 2.
2
3. Si > 1, la ecuación define una hipérbola para los ángulos que cumplan: < < 2 −
0
0

Ejemplo.
2
Dada la parábola de ecuación y = 12 x , hallar su ecuación polar suponiendo que la dirección del eje polar
coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el polo está en el foco de la parábola.

Solución.
12
2
= 12  4 = 12  = = 3
4
sustituyendo la ecuación en la ecuación general

=
1 −
se tiene:
3 3
= =
1 − (1) 1 −

Ejemplo.
Determinar la curva determinada por la ecuación r = 144 y escribir su ecuación canónica.
13 − 5 cos 

Solución.
Comparando la ecuación con la ecuación general

=
1 −
se tiene:
144
r = 13
1− 5 cos 
13
5
de donde se aprecia que =e  1, por lo que la curva representa a una elipse.
13
144 b 2 c
Considerando que =p , p = y e = , se tiene:
13 a a
b 2 = 144  b = 144a y c = 5  c = 5a
2
a 13 13 a 13 13
sabiendo que en la elipse se cumple que: a = b + c , entonces:
2
2
2
5 

a 2 = 144a +  a  2  a 2 = 144a + 25a 2  a 2 − 25 a 2 = 144
13  13  13 169 169 13
144 2 144
2
2
⇒ = = 0 ⇒ 144 = 1,872 = 0 ⇒ 144 − 1,872 = 0 ⇒ 144( − 13) = 0
169 13
 a 1 = ; 0 a 2 = 13
descartando la primera raíz, y sustituyendo en se tiene:
13
144 ( )
b 2 = = 144  b = 144 = 12
13

p
2 La ecuación r = representa la rama izquierda de la hipérbola si se selecciona en el intervalo − < < .
0
0
1 + ecos 
13