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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Expresiones algebraicas para describir y generalizar Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Ejemplo.
Sea el polinomio:   4 xxP 3  9x 2  5 x 11, comprobar el teorema de residuo si se divide por x 2.

Solución.
Dividiendo el polinomio por x 2:
4x 2  x  3
x  2 4x 3  9x 2  5 x 11
 4x 3  8x 2

 x 2  5 x 11
x 2  2x
3 x 11

 3 x 6
 5
ahora, evaluando para x 2 :
3
2
P   42    2  9   2  5   112   32  36  10  11  5
Los resultados son iguales, lo que comprueba el teorema del residuo.

TEOREMA DEL FACTOR

a
Si a es una raíz del polinomio   xP , entonces x es un factor del polinomio. O bien, si x a es un
factor de   xP , entonces a es una raíz del polinomio. Esto es:

P   a  0  x  a es un factor de   xP .

Demostración:
a
Si x es factor de   xP entonces se cumple que:   QxP   xx   a porque  QaP   aaa  0
por lo tanto, a es raíz de la ecuación   0xP .
Pero si a es raíz de la ecuación   0xP , esto implica que   0aP
Si se aplica el teorema del residuo se tiene que:
P   Qx   xx  a  P   Qa   xx   a 0  Q  xx   a
a
por lo tanto x es factor de   xP .

Ejemplo
Determinar si x 2 es factor del polinomio   xxP 3  4x 2  x  10

Solución:
Si x 2 es factor, x  2 es raíz, entonces debe cumplir que el residuo sea cero:
P     22   3  4     1022  2     8 16 2 10  0
Por lo tanto, x 2 es factor del polinomio
Comprobando:

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