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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Expresiones algebraicas para describir y generalizar Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

x 2  2 x 5
x  2 x 3  4x 2  x  10

 x 3  2x 2
2x 2  x  10
 2x 2  4x
 5 x 10

5 x 10
0
Por lo tanto se cumple que: x 3  4x 2  x  10  x 2  2 x 5  x  2 .

DIVISIÓN SINTÉTICA

a
Por el teorema del residuo, si a es una raíz del polinomio   xP , entonces   xP es divisible por x ,
a
pues el residuo de dividir   xP entre x es cero. A cada uno de las raíces se les designa por
x 1 x , 2 x , 3 , x , n .

n
Esto es, dado el polinomio   axP  n x  a n 1 x n 1  a n 2 x n 2  a n 3 x n 3      a 1 x  a , entonces se
0
puede factorizar como:   xxP   x 1 x  x 2 x  x 3  x  x n , es decir, un polinomio de grado n tiene
exactamente n raíces.

La principal razón de factorizar un polinomio es encontrar sus raíces. Generalmente, para reconocer las raíces
enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que éstas son divisores del término
independiente. Así, las raíces enteras del polinomio    xxP 4  6x 3  9x 2  4 x 12 están entre los divisores
de 12 . Por lo tanto, pueden ser raíces de   xP los números 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 12 y 12 .

En el polinomio anterior, si se prueba para x 1:
2
3
P     11  4  6   1  9   1  4   121   1 6  9  4  12   4, puesto que el residuo es distinto de
cero, se concluye que   xP no es divisible por x 1.
Ahora, si se prueba para x  1:
P     11   4  6   1  3 9   1  2 4   121   1 6  9  4  12  0 , puesto que el residuo es cero,
se concluye que   xP es divisible por x 1.

Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando un algoritmo llamado
Regla de Ruffini que aplica el teorema del residuo verificando cual de estos valores da como residuo cero.
Este es un procedimiento que permite hallar el cociente y el residuo sin efectuar la secuencia descrita
a
anteriormente. Esta regla aplica sólo si el divisor es un polinomio de la forma x .

En general, la división sintética es un procedimiento abreviado para realizar la división de un polinomio de
n
la forma P   ax  n x  a n 1 x n 1  a n 2 x n 2  a n 3 x n 3      a 1 x  a entre un polinomio lineal
0
a
expresado como x y sólo sirve para obtener las raíces enteras.

La metodología para encontrar las raíces enteras de un polinomio mediante la división sintética es la siguiente:

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