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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Recta de Euler Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

6. CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS

En cualquier triángulo, los pies de las tres alturas, los puntos medios de los lados y los puntos medios de
los segmentos que unen los vértices con el ortocentro, están sobre una misma circunferencia, cuyo centro
está situado en la recta de Euler, equidistante del ortocentro y del circuncentro.

A esta circunferencia de los nueve puntos se la conoce también como circunferencia de Euler o
circunferencia de Feuerbach.

El círculo de los nueve puntos también es conocido como el círculo de Euler o círculo de Feuerbach.

Gráficamente, esto es:

Posee cuatro propiedades relevantes:

 El centro de la circunferencia de los nueve puntos es el punto medio de la recta del ortocentro y el
circuncentro.
 La distancia del ortocentro al baricentro es el doble de la distancia del circuncentro al baricentro.
 El centro de la circunferencia de los nueve puntos es el circuncentro del triángulo medial (los vértices
son los puntos medios de los lados).
 El centro de la circunferencia de los nueve puntos es el circuncentro del triángulo órtico (los vértices
son los pies de las alturas de los lados).

Otra propiedad es que la circunferencia de los nueve puntos es tangente a las tres circunferencias
exinscritas, que son aquellas que, centradas en los excentros (cortes de las bisectrices de los lados del
triángulo exteriores al triángulo) y son tangentes a los tres lados del triángulo.

Gráficamente, esto es:

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