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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Recta de Euler Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1   65 3 1 2
m     m *   
2
3    41 2 2 3 3
2
Para el segmento PP 2 3 se tiene:
1 7 6  1 1
m 3  3 0  3   2  m 3 *   2  2

La ecuación de la altura que pasa por el punto P y es perpendicular a PP 1 2 es:
3
1
y  1   x  3  12  y 1    x  3  12 y 12  x  3  x  12 y 15  0
12
La ecuación de la altura que pasa por el punto P y es perpendicular a PP 1 3 es:
2
2
y  7   x  0   3 y  7  2  x  3 y 21  2  x  2 x 3 y 21  0
3
La ecuación de la altura que pasa por el punto P y es perpendicular a PP 2 3 es:
1
1
y    5   x   1   2 y  5  x  1  2 y 10  x  1  x  2 y 9  0
2
Usando las primeras dos de las tres ecuaciones anteriores, el sistema por resolver se convierte en:
L 1 : x 12y 15 

L 2 : 2x 3y  21  , aplicando el método de determinantes se tiene:

15 12

21 3 45  252  207 69
x    
1 12 3 24  21 7
2 3
1 15
2 21 21 30  9 3
y    
1 12 3 24  21 7

2 3
69  3  69  6  63
Comprobando en la tercera ecuación se tiene:  2   9   0
7  7  7
 69 3 
 el ortocentro se ubica en  ,  .
 7 7 

5. RECTA DE EULER

La recta de Euler es una línea que contiene al ortocentro, al circuncentro, al baricentro y al centro de los
nueve puntos notables de un triángulo no equilátero. Se llama así en honor al matemático suizo Leonhard
Euler, quien lo demostró en el siglo XVIII en el año 1765.

Euler demostró que en cualquier triángulo, el ortocentro, el circuncentro y el baricentro son colineales.

El incentro se encuentra en la recta de Euler sólo para triángulos isósceles.

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