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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Elipse Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

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a 2 b 2 x  2xh  h 2  a 2 b 2 y  2yk  k 2   a 2 b 2   1

b 2 a 2
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 a 2 x  2xh h 2  yb 2 2  2yk  k 2  a 2 b
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 a 2 x  2a 2 xh a 2 h  b 2 y  2b 2 yk  b 2 k  a 2 b
acomodando:
a 2 x 2  b 2 y 2  2 hxa 2  2 kyb 2  a 2 h 2  b 2 k 2  a 2 b 2  0
realizando los siguientes cambios de variable:
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A  a 2 , C  b 2 , D   2a 2 h , E   2 kb 2 , F  a 2 h  b 2 k  a 2 b
la expresión queda como:

Ax 2 Cy 2  Dx  Ey  F  0

que es la ecuación general de la elipse vertical. A  C , pero del mismo signo.

Ejemplo.
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Obtener la ecuación general de la elipse con focos en   83,F y   23,F y con excentricidad e
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Solución.
Al no cambiar las abscisas de los focos, se trata de una elipse vertical con centro en:
 8 2 
C , 3   C   5,3
 2 
Obteniendo c :
c  8 5  3
de la expresión de la excentricidad, se despeja a :
c 3 4c 4   3
e    a    4
a 4 3 3
obteniendo b :
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b  a 2  c 2  4  3  16  9  7
 x  3 2  y  5 2  x  3 2  y  5 2
   1    1
  7 2 4 2 7 16
multiplicando por 112 :
112  x  3 2  112  y  5 2  112  16  x  3   7 y   5 2  112
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7 16
16 x 2  6 x 9   7 y 2  10 y 25  112  16x 2  96 x 144 7y 2  70 y 175 112
acomodando se llega a la ecuación general pedida:
16x 2  7y 2  96 x 70 y 207  0

11. CARACTERÍSTICAS DE LA ELIPSE A PARTIR DE SU ECUACIÓN GENERAL

Sea la ecuación general de la elipse:
Ax 2 Cy 2  Dx  Ey  F  0
acomodando convenientemente:

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