Page 13 - m5-unidad11-elipse

Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Elipse Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

De la figura se puede apreciar que los vértices están en:  k,hV 1   a y  k,hV 2   a , los extremos del
eje menor están en: B 1 h   k , b y B 2 h   k , b , por su parte, los focos se ubican en F 1  k,h   c y

b 2 2
F  k,h   c . La longitud del lado recto sigue siendo LR  , y los extremos de los lados rectos son:
2
a
 b 2 
 h k ,   c .
 a 
 

Ejemplo.
Encontrar la ecuación de la elipse cuyos vértices son:  2,V   1 y V 2  2,  9 y que tiene excentricidad
1
1
e  .
2

Solución.
Como las abscisas de los vértices no cambian, se trata de una elipse vertical. El centro se ubica en
 9  1
C 2,   C  2,  5 , esto es: h  2, k  5
 2 
obteniendo a :
a  9 5  4
de la ecuación de la excentricidad, se despeja c :
c 1 c 4
e     c   2 .
a 2 4 2
2
2
c  a 2  b 2  b  a 2  c 2  4  2  16  4  12
 x  2 2  y  5 2  x  2 2  y  5 2
por tanto, la ecuación es:   2  4 2  1  12  16  1
12

9. ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE HORIZONTAL

Sea la ecuación ordinaria trasladada de la elipse horizontal:
  hx  2   ky  2
2  2  1
a b
desarrollando se tiene:
x 2  2xh  h 2  y 2  2yk  k 2 

a 2 b 2 1
2
multiplicando por a 2 b :
2
2
a 2 b 2 x  2xh  h 2   a 2 b 2 y  2yk  k 2   a 2 b 2   1
a 2 b 2
2
2
 b 2 x  2xh h 2  ya 2 2  2yk  k 2  a 2 b
2
2
2
2
2
 b 2 x  2 xhb 2  b 2 h  a 2 y  2a 2 yk  a 2 k  a 2 b
acomodando:
b 2 x 2 a 2 y 2  2 hxb 2  2 kya 2 b 2 h 2 a 2 k 2 a 2 b 2  0
12