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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Expresiones algebraicas para describir y generalizar Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

En las fórmulas anteriores a y b pueden ser cualquier expresión algebraica y tener cualquier signo. Por lo
tanto, segunda la fórmula es un caso particular de la primera ya que:
2
3
3
2
3
2
2
3
3
3
( − ) = [ + (−)] = + 3 (−) + 3(−) + = − 3 + 3 +

Considerando lo anterior, se aprecia que el desarrollo anterior presenta la siguiente estructura:

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer
término por el segundo más el triple del primer término por el cuadrado del segundo más el cubo del
segundo término.

Ejemplos.

3
1) ( +a ) 2 = a 3 + 3 ( )( ) ( )( ) 2232 + aa 2 2 + 3 = a 3 + 3 ( )( ) ( )( ) 8432 + aa 2 + = a 3 + 6a 2 + 12 +a 8
3
2) ( −k ) 5 = k 3 + 3 ( )( ) ( )( ) ( ) 5535 +−k 2 k − 2 + − 3 = k 3 + 3 ( )( ) ( )( ) 1252535 +−k 2 k −
= k 3 − 15k 2 + 75 −k 125
3
3
3) (4x + ) y 3 = ( ) + 3 ( ) ( ) ( )( ) yyxyx 2 + 3 4 2 + 3 = 64x + 3 ( 16x 2 )( ) ( )( ) yyxy + 3 4 2 + 3
4
4x
64x += 3 48x 2 y + 12xy + y
2
3
4)(6c − 7d ) ( ) += 6c 3 3 ( ) ( 76c 2 − d ) ( )( 763 c −+ d ) ( 7d−+ )
2
3
3
216c += 3 3 (36c 2 )( 7d− ) ( )(4963 c+ d 2 ) 343d =− 3 216c − 756 dc 2 + 882cd − 343d
3
2
3
1  2  3  1  3  1  2  2   1   2  2  2  3
5)  a +  b =   a + 3 a    b + 3 a    b +   b
 3 5   3   3   5   3   5   5 
1  1   2   1   4 
= a 3 +  3 a 2    b +  3   a b 2 
27  9   5   3   25 
8 1 2 4 8 1 2 4 8
+ b = a + a 2 b + ab + b = a + a 2 b + ab + b
3
2
3
3
3
2
3
125 27 15 25 125 27 15 25 125
3
2
3
6)(4x − 8y 2 ) ( ) ( ) ( 8434x= 3 3 + x 3 2 − y 2 ) ( )( 843 x −+ 3 y 2 ) ( 8y−+ 2 )
3
6
2
64x += 9 3 ( 16x 6 )( 8y− 2 ) ( )(6443 x+ 3 y 4 ) 512y =− 6 64x − 384x 6 y + 768 yx 3 4 − 512y
9
3
3
2
2
3
10
10
7) ( 3 +− a 10 ) = ( 3− a ) + 3 ( 3− a ) ( ) 310 + ( 3− a )( ) + ( )
−= 27a 3 + 3 ( )( ) ( 33109a 2 + − a )(100 ) 1000 −=+ 27a 3 + 270a 2 − 900 +a 1000
2
3
3
8) ( 9 −− z ) 2 3 = ( 9− z ) + 3 ( 9− z ) ( 2− ) 3+ ( 9− z )( 2 +− ) 2 ( 2− )
−= 729z 3 + 3 (81z 2 )( ) ( 932 +− − z )( ) 84 − = − 729z 3 − 486z 2 − 108 −z 8

3.6. CUBO DE UN TRINOMIO

El desarrollo de un cubo de trinomio a+ b+ c se obtiene multiplicando este trinomio por su cuadrado:

(a + b + ) c 3 = (a + b + c )(a + b + ) c 2 = (a + b + c )(a + b + c + 2 ab + 2 ac + 2 bc )
2
2
2
2
2
3
2
= a + ab + ac + 2 a 2 b + 2 a 2 c + 2 abc + a 2 b + b + bc + 2 ab + 2 abc + 2 b 2 c
3
2
+ a 2 c + b 2 c + c + 2abc + 2ac + 2bc
3
2
2

simplificado queda como:

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