Page 31 - m4-unidad02

Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Expresiones algebraicas para describir y generalizar Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1
a   b  a  b
a   b  a  b a  b  a  2 2ab  b
2
2

   
2 veces
3
a   b  a  b a  b a  b  a  3 3 ba 2  3ab  b
3
2
     

3 veces
4
4
3
a   b  a  b  a  b  a  4 4 ba 3  6 ba 2 2  4ab  b
    
4 veces
5
5
a   b  a  b  a  b  a  5 5 ba 4  10 ba 3 2  10 ba 2 3  5ab  b
4
    
5 veces
6
a   b  a  b  a  b  a  6 6 ba 5  15 ba 4 2  20 ba 3 3  15 ba 2 4  6ab  b
6
5
    
6 veces

De los desarrollos anteriores, se observa que:

n
 El desarrollo de a(  b) tiene n 1 términos
 El exponente de a empieza con n en el primer término y va disminuyendo en uno con cada término,
hasta cero en el último
 El exponente de b empieza con cero en el primer término y va aumentando en uno con cada término,
hasta n en el último
 Para cada término la suma de los exponentes de a y b es n
 El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n
 El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el
exponente de a dividido entre el número que indica el orden de ese término
 Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.

Ejemplo.

6
a   b 6  a  6 ba 5  15 ba 4 2  20 ba 3 3  15 ba 2 4  6ab  b
5
6
      
es 1 1  6 6  5 15  4 20  3 15  2 6  1
1 2 3 4 5 6

Aplicando las consideraciones expuestas en los incisos para el caso general se tiene:

2
a   b n  a  n a n 1 b  n (n  ) 1 a n 2 b  n (n  1 )(n  ) 2 a n 3 b  n (n   ) 1 n  2 n   3 a n 4 b
4
n
3
1 1   2 1    32 1     432
n n 1 n  2 n 3 n  4 
n
 a n5 b      b
5
1      5432

Se define como factorial de un número natural n al producto de n por todos los números que le preceden
hasta el uno. Se denota mediante !n :

n 1!     n 1432       n

Por definición, el factorial de cero es uno: !0  1

30