Page 32 - m4-unidad02

Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Expresiones algebraicas para describir y generalizar Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Ejemplos.
! 3  1    632 
! 5  1      1205432 
! 8  1         408765432  , 320

14 ! 1        871413432     , 178 ' 291 , 200

Ahora, si se introduce la notación factorial, la fórmula del binomio puede escribirse así:

n n (n  ) 1 n (n  1 )(n  ) 2 n (n   ) 1 n  2 n   3
2
3
a   b  a  a n 1 b  a n 2 b  a n 3 b  a n 4 b
n
n
4
! 1 ! 2 ! 3 ! 4
n n 1 n  2 n 3 n  4 
5
 a n5 b      b
n
! 5

Ejemplos.
1) Obtener el desarrollo de 3( x  4y )
4

Solución.
Haciendo a 3 x , b   4 y y n 4
Aplicando la fórmula se tiene:
2
3
4
4
3x  4  y 4     4    43x 3   y  4   3    43x 2   y  4    23   43x  y   4y 
3x
! 1 ! 2 ! 3
2
3
4
4
3x  4  y 4     4    43x 3   y  12    43x 2   y  24   43x  y   4y 
3x
1 2 6
81x  4 4 27x 3  4y  12   169x 2 y 2  24   643x  y 3  256y 4
1 2 6
81x  4 432 yx 3  864x 2 y  768xy  256y
2
3
4

2) Hallar la expansión de 5( x  2y )
5

Solución.
Haciendo a  5x , b 2 y y n 5
Aplicando la fórmula se tiene:
5
5x  2  y 5     5     yx 4 2  5   4     yx 3 2 2  5    34     yx 2 2 3  5     234    yx 2 4
5
5
5
5x
5
! 1 ! 2 ! 3 ! 4
  y 2 5
3
2
5
3 , 125x  5 625x 4   102y   125x 3   104y  25x 2     16558y  x y 4  32y 5
3 , 125x  , 6 250 yx 4  , 5 000 yx 3 2  , 2 000 yx 2 3  400xy  32y
5
4
5

En el desarrollo binomial:

n n( n  )1 n( n  )(1 n  )2 n( n  )1 n
a   b n  a  a n1 b  a n2 b  a n3 b      a 2 b n2  ab n1  b
2
3
n
n
! 1 ! 2 ! 3 ! 2 ! 1

31