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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Expresiones algebraicas para describir y generalizar Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

4.8. FACTORIZACIÓN DEL CUBO DE UN BINOMIO

Una cantidad es cubo perfecto cuando es el producto de tres factores iguales, es decir, es el cubo de otra cantidad.

3
Por ejemplo, 125k es cubo perfecto, ya que es el cubo de k5 .

El cubo de un binomio es de la forma:

a   b 3  a  3 ba 2  3ab  b
2
3
3

y cumple con las siguientes características:

 Posee cuatro términos.
 El primero como el último término son cubos perfectos
 El segundo término es el triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz
cúbica del último.
 El tercer término es el triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz
cúbica del último.

Para verificar que la factorización de una expresión de cuatro términos es el cubo de un binomio se debe
proceder de la siguiente manera:

1. Se ordena el polinomio en forma descendente o ascendente respecto a una literal.
2. Se extrae la raíz cúbica del primer y último términos del polinomio.
3. Se observa si todos los signos son iguales o si se alternan.
4. Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último y se compara
con el segundo término del polinomio dado.
5. Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último y se compara
con el tercer término de la expresión.
6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos previos son iguales, se trata del desarrollo del cubo de
un binomio y se factoriza así: se forma un binomio con las raíces cúbicas del primer y último término
del polinomio, con los signos que se obtengan (si todos los signos son iguales) o por el signo menos
(si los signos se alternan). Finalmente, se eleva el binomio al cubo.

Ejemplos.
Factorizar los siguientes polinomios:

1) k 3  3k 2  3 k 1
Se extraen las raíces cúbicas de los términos extremos:
3
3 k  k
3 1  1
El triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último es:
2
3     31k 2  k , que es igual al segundo término.
El triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último es:
2
k
3    1  k 3 , que es igual al tercer término.
Dado que todos los signos son positivos, el binomio al cubo formado por las raíces cúbicas de los extremos
3
3
es:  k  1 , así que: k 3  3k 2  3 k 1  k  1

3
2) 27  27x  9x  x
2
Se extraen las raíces cúbicas de los términos extremos:

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