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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Expresiones algebraicas para describir y generalizar Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

4 6
6 9
2 3
2 3
4 6
6 9
3
2 3
8) 18 + 1 + 216 + 108 = 216 + 108 + 18 + 1 = (6 + 1)

4.9. FACTORIZACIÓN DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Sea n un número entero positivo.

n
n
• La suma de potencias iguales impares es siempre divisible por la suma de las bases. Esto es: a + b
b
es divisible por a + . Por lo tanto: a n +b n = ( +ba )(a n − 1 −a n − 2 b + a n − 3 b 2 − +b n − 1 )

• La suma de potencias iguales pares, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las bases a
menos de que sea posible transformarla en una suma equivalente de potencias impares.

• La diferencia de potencias iguales, sean pares o impares, es siempre divisible por la diferencia de las bases. Esto
es: a − b es divisible por a − . Por lo tanto: a n − b n = ( − ba )(a n 1 − + a n − 2 b + a n − 3 b 2 + + b n 1 − )
n
n
b

• La diferencia de potencias iguales pares, es siempre divisible por la suma de las bases. Esto es:
n
n
a − b es divisible por a + . Por lo tanto: a n − b n = ( + ba )(a n 1 − − a n − 2 b + a n − 3 b 2 − + b n 1 − )
b

Ejemplos.
Factorizar las siguientes sumas de potencias iguales:

3
1) a + b
3

Solución.
Las potencias son impares, entonces es divisible por a + b :

a − ab + b 2
2
a + b a 3 + b 3
3
− a − a 2 b
− a 2 b + b 3
a 2 b + ab 2
2
ab + b 3
− ab − b 3
2
0

2
3
Por lo tanto: a + b = (a + b )(a − ab + b 2 )
3

2) k 5 + 32

Solución.
5
k 5 + 32 = k 5 + 2 , las potencias son impares, entonces es divisible por +k 2 :

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