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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Sistemas de ecuaciones para modelar condiciones simultáneas Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Aquí se expondrán dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones:

 Reducción (método de eliminación de Gauss)
 Determinantes (Regla de Cramer)

6.1. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS

El método reducción para la resolución de sistemas lineales es una generalización del método de
eliminación expuesto en el subtema 4.2. y es aplicable a sistemas lineales de cualquier tamaño. En esencia
consiste en hacer, al sistema de ecuaciones lineales, determinadas transformaciones elementales a fin de
obtener un sistema escalonado (un sistema es escalonado cuando cada ecuación tiene una incógnita
menos que la anterior), más fácil de resolver.

La idea del método es muy simple: ir reduciendo en cada paso el problema a un problema que tiene una
ecuación menos y una incógnita menos. Este método es mejor conocido como método de eliminación de
Gauss .
1

El procedimiento es el siguiente:

1. Tomando como base el signo de una de las incógnitas de una ecuación, se procura que en las otras
dos ecuaciones esa incógnita tenga la misma magnitud y signo contrario, para que al sumarlas miembro
a miembro se elimine dicha incógnita, dando lugar a que en todas las ecuaciones desaparezca, excepto
en una.

2. Se procura que otra de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en cualquiera de las dos ecuaciones
reducidas para que, al sumarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una
ecuación con sólo la tercera incógnita, misma que se despeja.

3. Con un valor conocido, se sustituye en la ecuación reducida para obtener el valor de otra incógnita a
través de un despeje.

4. Con los valores de dos incógnitas se sustituye en la ecuación que no fue reducida, y mediante un
despeje se obtiene el valor faltante.

Ejemplo.
Resolver los siguientes sistemas aplicando el método de eliminación de Gauss.

2x 3y 5z  13 
1) 4x 5y  2z  3 

6x  2y 3z  12 


Solución.
La primera ecuación se multiplica por 2 y se suma a la segunda. La primera ecuación se multiplica por
3 y se suma a la tercera:
2x 3y 5z  13 

 y 8z  29 
7y 18z  51 

la segunda ecuación se multiplica por 7 y se suma a la tercera:

1 El nombre es un reconocimiento al matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quien desarrolló el método.

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