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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Inecuaciones para modelar restricciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

3. DESIGUALDADES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

Una desigualdad de segundo grado o desigualdad cuadrática, tiene la forma:

ax 2 + bx + c  0 o ax 2 + bx + c  0 o ax 2 + bx + c  0 o ax 2 + bx + c  0

donde ,a b y c son números reales y a 0 . Su solución generalmente representa un intervalo o la unión
de dos intervalos de números reales.

Para resolver una desigualdad cuadrática se usan los conceptos de número crítico y número de prueba.

Un número crítico de la desigualdad mencionada es una raíz real de la ecuación cuadrática
ax 2 + bx + c = 0 .

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Si r y r son números críticos y r  r , entonces el polinomio ax + bx + c sólo puede cambiar de signo
1 2 1 2
algebraico en r y r por lo tanto el signo más o menos de ax + bx + c será constante en cada uno de
2
2
1
los intervalos ( − 1 ) r , , ( ,r 1 r 2 ), ( ,r 2  ).

Para determinar si estos intervalos son o no solución de la inecuación, se evalúa con un número x de
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prueba arbitrario en ax + bx + c para cada intervalo. Los resultados obtenidos sirven para ubicar el

conjunto de soluciones de la desigualdad.

Un procedimiento sistemático para la resolución de inecuaciones cuadráticas es el siguiente:

1. Se trasladan todos los términos de la inecuación al miembro de la izquierda.
2. Se hallan los números críticos r y r de la ecuación cuadrática y se forman los intervalos ( − 1 ) r , ,
1
2
( ,r 1 r 2 ), ( ,r 2  ).
3. Se prueban con valores de fácil sustitución localizados en dichos intervalos para determinar cuáles son
los que satisfacen la desigualdad.

Ejemplos.
Resolver las siguientes inecuaciones:

1) x 2 − 9  0

Solución.
x 2 = 9
x =  9
x =  3
Los números críticos son: =r 1 3 y r 2 = − 3

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