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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Funciones para modelar la relación entre variables Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN PARA POLINOMIOS

Dados dos polinomios   xP (llamado dividendo) y   xQ (llamado divisor) de modo que el grado del
dividendo sea mayor que el grado del divisor y   0xQ .

Entonces, para P   x existen dos polinomios únicos   xc y   xr tales que cumplen con:
Q   x

P   Qx        xrxcx  

El polinomio   xc se llama cociente y   xr es el residuo de la división cuyo grado es menor que el de  .
x
P

Sean un polinomio   xP de grado n  1 y a R.

TEOREMA DEL RESIDUO

Si el polinomio   xP se divide por x a , entonces el residuo es   aP .

Demostración:

Si se divide   xP entre x a se tiene:   xP  Q  xx  a  R

donde   xQ es el cociente y R es el residuo.

Si ahora se evalúa x  a se obtiene:

P   Qa   aa  a  R  0  R  R

de donde   es el residuo.
P
a
Ejemplo.
Sea el polinomio:   4 xxP 3  9x 2  5 x 11, comprobar el teorema de residuo si se divide por x 2.

Solución.
Dividiendo el polinomio por x 2:

4x 2  x  3
x  2 4x 3  9x 2  5 x 11
 4x 3  8x 2

 x 2  5 x 11
x 2  2x

3 x 11
 3 x 6
 5

ahora, evaluando para x 2 :
3
2
P   42    2  9   2  5   112   32 36 10 11  5
Los resultados son iguales, lo que comprueba el teorema del residuo.

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