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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Funciones para modelar la relación entre variables Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

TEOREMA DEL FACTOR

a
Si a es una raíz del polinomio   xP , entonces x  a es un factor del polinomio. O bien, si x es un
factor de   xP , entonces a es una raíz del polinomio. Esto es:

a
P   0  x  a es un factor de   xP .

Demostración:
Si x  a es factor de   xP entonces se cumple que:   QxP   xx   a porque   QaP   aaa  0
por lo tanto, a es raíz de la ecuación   0xP .
Pero si a es raíz de la ecuación   0xP , esto implica que  aP 0
Si se aplica el teorema del residuo se tiene que:
P   Qx   xx  a  P   Qa   xx  a 0  Q  xx  a 
por lo tanto x  a es factor de   xP .

Ejemplo
Determinar si x 2 es factor del polinomio   xxP 3  4x 2  x  10
Solución.
Si x 2 es factor, x  2 es raíz, entonces debe cumplir que el residuo sea cero:
P     22   3  4     1022  2     8 16 2 10  0
Por lo tanto, x 2 es factor del polinomio
Comprobando:

x 2  2 x 5
x  2 x 3  4x 2  x  10

 x 3  2x 2
2x 2  x  10

 2x 2  4x
 5 x 10
5 x 10

0

Por lo tanto se cumple que: x 3  4x 2  x  10  x 2  2 x 5  x  2 .

DIVISIÓN SINTÉTICA

Por el teorema del residuo, si a es una raíz del polinomio   xP , entonces   xP es divisible por x a ,
pues el residuo de dividir   entre x a es cero. A cada uno de las raíces se les designa por
P
x
x 1 x , 2 x , 3 , x , n .

n
Esto es, dado el polinomio   axP  n x  a n 1 x n 1  a n 2 x n 2  a n 3 x n 3      a 1 x  a , entonces se puede
0
factorizar como:   xxP   x 1 x  x 2 x  x 3  x  x n , es decir, un polinomio de grado tiene
exactamente raíces.

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