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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Funciones para modelar la relación entre variables Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

La principal razón de factorizar un polinomio es encontrar sus raíces. Generalmente, para reconocer las raíces
enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que éstas son divisores del término
independiente. Así, las raíces enteras del polinomio    xxP 4  6x 3  9x 2  4 x 12 están entre los divisores de
12 . Por lo tanto, pueden ser raíces de   los números 1, 1, 2,  2, 3,  3, 4,  4, 6,  6, 12 y 12 .
x
P

En el polinomio anterior, si se prueba para x 1:
3
2
P     11  4  6   1  9   1  4   121   1 6  9  4  12   4, puesto que el residuo es distinto de cero, se
concluye que   xP no es divisible por x 1.
Ahora, si se prueba para x  1:
P     11   4  6   1  3 9   1  2 4   121   1 6 9 4 12  0 , puesto que el residuo es cero, se concluye
que   xP es divisible por x 1.

Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando un algoritmo llamado
Regla de Ruffini que aplica el teorema del residuo verificando cuál de estos valores da como residuo cero.
Este es un procedimiento que permite hallar el cociente y el residuo sin efectuar la secuencia descrita
anteriormente. Esta regla aplica sólo si el divisor es un polinomio de la forma x  a .

En general, la división sintética es un procedimiento abreviado para realizar la división de un polinomio de
n
la forma   axP  n x  a n 1 x n 1  a n 2 x n 2  a n 3 x n 3      a 1 x  a entre un polinomio lineal expresado como
0
x a y sólo sirve para obtener las raíces enteras.

La metodología para encontrar las raíces enteras de un polinomio mediante la división sintética es la siguiente:

 La disposición práctica requiere que en un primer renglón se escriban los coeficientes del dividendo
ordenado de forma descendente y completa hasta el término independiente. A la izquierda de una línea
vertical se escribe un valor de prueba como probable raíz, que como ya se mencionó es un divisor de a .
0
 El primer coeficiente del dividendo se copia abajo en una tercera fila en la misma columna. Se multiplica
el valor de prueba por el primer coeficiente de la tercera fila y el resultado se escribe debajo del
siguiente coeficiente del dividendo.
 Se suman los coeficientes de la segunda columna y el resultado se escribe en la tercera fila.
 El resultado obtenido en el paso anterior reinicia el ciclo: se multiplica por el valor de prueba y el
resultado se escribe debajo del siguiente coeficiente del dividendo. Nuevamente se suman los
coeficientes de la tercera columna y el resultado se escribe en la tercera fila
 El proceso continúa hasta que se obtenga el resultado de la última columna. Este valor es el residuo.
Si es cero entonces el valor de prueba es una raíz del polinomio
 De no ser una raíz, se repite la metodología con otro valor de prueba hasta encontrar un valor cuyo
residuo sea cero.
 Cuando el residuo es cero, los valores de la tercera fila representan los coeficientes del polinomio
reducido y se efectúa el mismo procedimiento con estos coeficientes hasta que se llegue a un polinomio
de grado uno, a fin de que se pueda despejar para obtener la última raíz.

Ejemplo.
Encontrar las raíces enteras de los siguientes polinomios:

1) x 2  x  6  0

Solución.
Las posibles raíces son: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6 y 6
Probando con x 1:

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