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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Lugares geométricos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

3. ECUACIONES DE LUGARES GEOMÉTRICOS

El segundo problema fundamental de la geometría analítica consiste en obtener la ecuación de un lugar
geométrico dada su gráfica o sus condiciones básicas. En general, para obtener la ecuación de un lugar
geométrico se sigue el procedimiento que a continuación se describe:

Una vez conocidas las condiciones que debe cumplir un lugar geométrico, se expresan algebraicamente
en términos de un punto (, ) que es un punto del lugar geométrico, y por lo tanto, satisface las
condiciones dadas. Se obtiene la expresión (generalmente aplicando la fórmula de distancia entre dos
puntos), se simplifica, se iguala a cero y se comprueba que cualquier punto que pertenezca a la curva
satisface la ecuación encontrada. Cualquier pareja de valores que satisfaga la ecuación representa las
coordenadas de un punto del lugar geométrico.

Ejemplos.

1) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos (, ) del plano que equidisten de los puntos
P 1 3 ,  5 y  6,P   2
2

Solución.
2
2
La distancia al punto P es: d 1  ( x ) 3  ( y ) 5 2 y la distancia al punto P es: d 2  ( x ) 6  ( y ) 2 2
1
2
Al equidistar, implica que: d  d
2
1
  x  3 2   y  5 2   x  6 2   y  2 2
elevando al cuadrado:
2
2
2
( x ) 3  ( y ) 5  ( x ) 6  ( y ) 2 2
desarrollando:
x 2  6 x 9 y 2  10 y 25 x 2  12 x 36 y 2  4 y 4
reduciendo términos semejantes:
18 x 14 y 6  0
simplificando se obtiene:
9 x 7 y 3  0

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