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Página del Colegio de Matemáticas del Plantel 8 de la ENP-UNAM Hipérbola Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Solución.
Como las abscisas de los vértices no cambian, se trata de una hipérbola vertical.
 1 7 
el centro se ubica en  5,   C   45, , esto es, h 5 y k 4
C
 2 
así que el semieje real es: a 7 4  3
despejando b de la expresión del lado recto:
8 2b 2 8 3   8
LR     b 2   4  b  2
3 3 3 2   3
así que la ecuación buscada es:
 y  4 2   x  5 2  1   y  4 2   x  5 2 

3 2 2 2 9 4 1
obteniendo c :

2
2
c  a 2  b 2  3  2  9  4  13
los focos se ubican en:  45 ,F 13  que equivale a:  45 ,F 1 13  y  45 ,F 2 13 
3
las ecuaciones de las asíntotas son: y 4    x  5 , que equivale a:  2 y   4    3 x  5
2
desarrollando y reduciendo se obtienen las rectas: 3 x 2 y 7  0 y 3 x 2 y 23  0.

9. ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL

Sea la ecuación ordinaria trasladada de la hipérbola horizontal:
  hx  2   ky  2
2  2  1
a b
desarrollando se tiene:
x 2  2xh  h 2  y 2  2yk  k 2 
a 2 b 2 1
2
multiplicando por a 2 b :
2
2
a 2 b 2 x  2xh  h 2   a 2 b 2 y  2yk  k 2   a 2 b 2   1
a 2 b 2
2
2
 b 2 x  2xh h 2  ya 2 2  2yk  k 2  a 2 b
2
2
2
2
2
 b 2 x  2 xhb 2  b 2 h  a 2 y  2a 2 yk  a 2 k  a 2 b
acomodando:
b 2 x 2 a 2 y 2  2 hxb 2  2 kya 2 b 2 h 2 a 2 k 2 a 2 b 2  0
realizando los siguientes cambios de variable:
2
A  b 2 , C  a 2 , D  2 hb 2 , E  2 ka 2 , F  b 2 h  a 2 k  a 2 b
2
2
la expresión queda como:

Ax 2 Cy 2  Dx  Ey  F  0

que es la ecuación general de la hipérbola horizontal. Nótese como A  C , tanto en signo como en magnitud.

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